Waren Drachen im Alten China u.a. deshalb so populär, weil sie von Julia-Graphiken des für Wachstum stehenden Goldenen Schnitts dargestellt wurden?
Der Goldene Schnitt im I-Ging und daraus resultierende Julia-Graphiken von Drachen für Hexagramm-Gruppen, die Anfang und Ende von Jahreszeiten, Beginn und Auflösung charakterisieren!
Im I-Ging gibt es einen Yin/Yang-Quotienten, der nähert sich der Zahl des Goldenen Schnittes 0,618 im Mittel bis auf etwa 1 % an. Es ist der Quotient der Anzahl der Yin-Linien durch die Anzahl der Yang-Linien der bedeutendsten im I-Ging enthaltenen Gruppe von Hexagrammen: Bei der Entschlüsselung der Struktur des I-Ging ergeben sich drei Gruppen von Hexagramm-Paaren. (Hexagramme mit ungerader Ordnungsnummer (männliche Hexagramme) verbinden sich mit Hexagrammen gerader Ordnungsnummer (weibliche Hexagramme), die auf die ungeraden folgen.) Die erste Paargruppe stellt die Jahreszeiten-Anfänge dar. Ihre Hexagramme sind fast alle von überwiegend positiver Vorbedeutung. Die Ordnungszahlen der männlichen Hexagramme dieser Paargruppe sind hauptsächlich Primzahlen. In dieser Gruppe beträgt der Quotient der Anzahl der Yin-Linien durch die Anzahl der Yang-Linien 25/41 gleich 0,6098. Das ist ein Wert nicht weit entfernt von der Zahl des Goldenen Schnitts 0,618. (In dieser Gruppe von Hexagrammen verhält sich die Anzahl der Yin-Linien zu der Anzahl der Yang-Linien wie die Anzahl der Yang-Linien 41 zu der Anzahl der Yin-Linien plus der Anzahl der Yang-Linien 66 (25 + 41 = 66). Das ist die Formel für den Goldenen Schnitt.) Der Quotient von 41 zu 66 beträgt 0,62118. Der Goldene Schnitt kennzeichnet eine sich wiederholende Selbstähnlichkeit. Die Natur bevorzugt das Auftreten des Goldenen Schnitts. Der Goldene Schnitt ist u.a. in Wachstumsprozessen zu finden. Er beinhaltet eine sich wiederholende Selbstähnlichkeit, wie sie u.a. im Blumenkohl zu finden ist. Ein Blumenkohl besteht aus kleineren Röschen, die dem gesamten Kopf sehr ähnlich sehen. Diese Röschen lassen sich in noch kleinere zerlegen, die den vorhergehenden und auch dem ganzen Kopf ähnlich sind. Diese Selbstähnlichkeit ist in drei bis vier Stufen vorhanden. Die Natur kopiert auch in vielen anderen Strukturen immer wieder ein Grundmuster in immer kleinerem Maßstab. Selbstähnlichkeit beinhaltende Wachstumsprozesse werden auch von der Julia-Menge dargestellt, die durch ihre formen-reiche Graphiken bekannt ist. Sie steht in Beziehung zur Mandelbrot-Menge. Da im I-Ging der Goldene Schnitt vorhanden ist, fragte sich der Autor, ob Yin-Yang-Strukturen im I-Ging nicht auch von Julia-Mengen dargestellt werden können. Mandelbrot- und Julia-Mengen sind geometrische Gebilde mit einer hohen inneren Ordnung und vielen Symmetrien. Die Mandelbrot-Menge ist zugleich ein Symbol für das mathematische Chaos.
Das I-Ging enthält 64 Hexagramme, die 32 Hexagramm-Paare bilden. Ein Hexagramm mit einer geraden Ordnungsnummer ist der weibliche Partner des vorangehenden männlichen Hexagramms mit einer ungeraden Ordnungsnummer. In den meisten Fällen ist das weibliche Hexagramm das auf den Kopf gestellte Hexagramm des vorangehenden männlichen Hexagramms. Nicht nur von der Form, auch von der Bedeutung her bestehen Verbindungen.
Um Julia-Mengen darstellen zu können, kann man die Hexagramm-Paare als komplexe Zahlen auffassen. Man kann aber auch jedes einzelne Hexagramm wegen seiner unterschiedlichen Anteile von Yin und Yang als komplexe Zahl auffassen. Als erstes ist da die Anzahl der Yin- und Yang-Linien in einem Hexagramm bzw. in einer Gruppe von Hexagrammen. Aufgrund ihrer Lage in einem Hexagramm kann der Anteil von Yin bzw. Yang aber auch über diese ganzzahligen Anteile hinausgehen. Mit Hilfe eines Computer-Programms wird der Betrag der komplexen Zahlen sowie das Produkt von jeweils zwei komplexen Zahlen berechnet.
So wie eine Gruppe von Hexagramm-Paaren für die Jahreszeiten-Anfänge und den Beginn steht, so stellt eine andere Gruppe von Hexagramm-Paaren die Jahreszeiten-Ausklänge und die Auflösung dar. In der ersten Gruppe sind fast alle Hexagramme von vorwiegend positiver Vorbedeutung. In der zweiten Gruppe ist demgegenüber etwa die Hälfte der Hexagramme von vorwiegend negativer Vorbedeutung. Der Autor fragte sich, ob sich nicht für diese beiden Gruppen von Hexagramm-Paaren unterschiedliche Julia-Grafiken ergeben, die in etwa der Bedeutung dieser beiden Hexagramm-Gruppen entsprechen. Er ging dazu mit Quotienten von Yin durch Yang als C-Werte in das Programm XFract0.2.2.1-Universal zur Berechnung von Julia-Mengen ein. Bei den Grafiken, die das Programm liefert, liegen die Punkte im schwarzen Bereich innerhalb der Julia-Menge. Den Punkten außerhalb der Julia-Menge werden unterschiedliche Farben zugewiesen. Die Farbe der Punkte ist abhängig von der Anzahl der Iterationen, die der Computer berechnet hat, um herauszufinden, dass sie außerhalb der Julia–Menge liegen. Die Formel z-Quadrat wird immer wieder auf z angewendet. Die Anzahl der Anwendungen ist die Anzahl der Iterationen. Z und der C-Wert c sind komplexe Zahlen.
Der Zahlenwert für den Goldenen Schnitt 0,618 wurde als C-Wert für die Berechnung der Julia-Menge verwendet, desweiteren auch der sich aus dem I-Ging ergebende, an den Goldenen Schnitt angenäherte Zahlenwert von 25/41 = 0,6098 bzw. 41/66 = 0,621. Die Grenzen für x und y wurden mit -1,5 und +1,5 eingegeben. In ähnlicher Weise wie die Mandelbrot-Menge liefert auch die Julia-Menge u.a. Bilder von Fraktalen. Fraktale weisen Selbstähnlichkeit auf, d.h. die Teilfiguren sind verkleinerte Kopien der Gesamtfigur, ein Phänomen, das wie erwähnt auch bei Wachstumsprozessen in der Natur eine große Rolle spielt..
Wird der Zahlenwert von 0,618 des Goldenen Schnitts als C-Wert verwendet, so ergibt sich eine Grafik, die als ein Drachenpaar mit seinen beiden Kindern gedeutet werden kann.
Wird der geringfügig vom Goldenen Schnitt abweichende Wert von 25/41 = 0,6088 (das Verhältnis von kleinerer Strecke oder Menge zu größerer Strecke oder Menge als Teil 1 der Gleichung des Goldenen Schnitts) als C-Wert verwendet, wie er sich für die männlichen Hexagramme der für die Jahreszeiten-Anfänge und den Beginn stehenden Hexagramm-Paare ergibt, so sind das Drachenpaar und seine Kindern nicht mehr wie bei dem C-Wert des Goldenen Schnitts voneinander getrennt, sondern miteinander verbunden. Sie halten sich sozusagen an den „Händen“.
Der vom Goldenen Schnitt etwas nach oben abweichende C-Wert von 41/66 = 0,621 (das Verhältnis von größerer Strecke oder Menge zur Gesamtstrecke oder –menge als Teil 2 der Gleichung des Goldenen Schnitts) führt zu einer Julia-Grafik, in welcher die Julia-Menge in eine Reihe einzelner Teile zerfällt. Das Bild symbolisiert Auflösung und entspricht der Hexagramm-Gruppe, die für die Jahreszeiten-Enden bzw. die Auflösung steht. Die Zahl 2 als Entsprechung zu Gleichung 2 der beiden Gleichungen des Goldenen Schnitts taucht bei dieser Gruppe insofern auf, als dass der Quotient der Yin- durch die Yang-Linien von 33/27 = 1,222 bei den männlichen Hexagrammen dieser Paargruppe zweimal so groß ist wie bei den männlichen Hexagrammen der Paargruppe, die für die Jahreszeiten-Anfänge und den Beginn steht.
Der Drache spielt in der chinesischen Mythologie eine große Rolle. Er steht für den Frühling, das Wasser und den Regen, also für die Neuentfaltung der Natur, für Wachstum und Fruchtbarkeit. Er ist dem Yang zugeordnet. Dies ist in Übereinstimmung damit, dass der Drache in der Grafik einer Julia-Menge bei einer Zahl als C-Wert auftritt, bei der die Yang-Linien die Yin-Linien in starkem Masse, nämlich mit 41 zu 25, übertreffen.
Der Autor hält es für möglich, dass Drachen im Alten China u.a. deshalb so populär waren, weil chinesische Mathematiker herausgefunden hatten, dass sie von Julia-Graphiken mit dem C-Wert des für Wachstum stehenden Goldenen Schnitts dargestellt werden. Die Ähnlichkeit zwischen den Drachen, die von den Julia-Grafiken dargestellt werden und den Abbildungen von Drachen im Alten China ist jedenfalls verblüffend.
